函数单调性的教案，一分钟学会函数单调性

一分钟学会函数单调性

函数值增加，就是函数单调递增，函数值减少，就是函数单调递减

函数的单调性怎么求

取X1和X2。设X1小于X2。把X1和X2分别代入FX中。如果FX1小于FX2。那么这个函数就是单调递增函数。如果FX1>F（X2）。那么这个函数就是单调递减函数。

函数单调性的高考要求和地位

函数单调性这部分，是高考的基本内容之一，在考试中可以单独出题，也可以综合其他知识，地位还是比较重要的。学不好单调性，会影响后面的导数等知识学习。

1.单调性可以单独出选择填空，一般会结合解不等式问题，也可能与奇偶性，周期性，对称性综合命题。

2.单调性在导数大题中可能会出现，可以是求单调区间，讨论单调性等问题。

3.较复杂的导数题，在构造函数后要研究单调性，然后求出极值最值，从而解决问题。

求函数单调性

函数的单调性指的是函数的增减性。函数在其定义域内的某个区间上的单调性可以分为单调增、单调减、不具有单调性三种情况。

函数的单调性

一、单调递增与增函数

如果函数y=f(x)，对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量a、b，当a<b时都有f(a)<f(b)，则称f(x)在区间D上单调递增，同时把区间D称为函数y=f(x)的一个单调递增区间。

【注】定义中的“当a<b时都有f(a)<f(b)”与“当a>b时都有f(a)>f(b)”等价。注意到a-b≠0，定义中的“当a<b时都有f(a)<f(b)”还与“[f(a)-f(b)]/(a-b)>0”等价。

特别地，当函数y=f(x)在它的整个定义域上单调递增时，就称函数f(x)是其定义域上的增函数，常简称为增函数。

【注】函数在某个区间上恒增的区间，才是这个函数的单调递增区间。

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y=x^2当x0时为减函数，x0时为增函数

二、单调递减与减函数

如果函数y=f(x)，对于定义域内的某个区间D上的任意两个自变量a、b，当a<b时都有f(a)>f(b)，则称f(x)在区间D上单调递减，同时把区间D称为函数y=f(x)的一个单调递减区间。

【注】定义中的“当a<b时都有f(a)>f(b)”与“当a>b时都有f(a)<f(b)”等价。注意到a-b≠0，定义中的“当a<b时都有f(a)>f(b)”还与“[f(a)-f(b)]/(a-b)<0”等价。

特别地，当函数y=f(x)在它的整个定义域上单调递减时，就称函数f(x)是其定义域上的减函数，常简称为减函数。

【注】函数在某个区间上恒减的区间，才是这个函数的单调递减区间。

三、不具有单调性

如果函数y=f(x)，在其定义域内的某个区间D上既不单调递增，也不单调递减，就称函数f(x)在区间D上不具有单调性。一般地，在某个区间D上不具有单调性的函数，函数图像在这个区间D上“有升有降，升降共存”。

特别地，当函数y=f(x)在它的定义域上不具有单调性时，就称函数f(x)不是其定义域上的单调函数。此时的函数图象在其定义域上也是“有升有降，升降共存”。如：正弦函数y=sinx，x∈R。结合正弦函数图象可知，正弦函数既有单调递增区间也有递减区间，但却不是定义域R上的单调函数。

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正弦函数与余弦函数的图象

函数不是定义域上的单调增（减）函数时，往往仍有可能是其定义域的某个子区间上的单调函数。如“y=1/x”不是定义域内的减函数，但却是“x<0”和“x>0”上的减函数。（注：函数的单调性指的是函数在某个区间上恒增或恒减，函数有增又有减的区间不是这个函数的单调区间。）

所以说，在整个定义域上不具有单调性的函数有可能在定义域的某个子区间上具有单调性。反之，在函数定义域的某个子区间具有单调性的函数未必在其整个定义域上具有单调性。

四、图象法判断函数的单调性

1、函数在某个区间单调递增，等价于从左向右看时，函数在这个区间上的图象呈‘上升’趋势；函数是增函数，等价于从左向右看时，函数在其整个定义域上的图象呈“上升”趋势。

2、函数在某个区间单调递减，等价于从左向右看时，函数在这个区间上的图象呈“下降”趋势。函数是减函数，等价于从左向右看时，函数在其整个定义域上的图象呈“下降”趋势。

五、常用的性质

1、两个增函数的和还是增函数。

2、两个减函数的和还是减函数。

3、增函数减去减函数等于增函数。

4、减函数减去增函数等于减函数。

5、复合函数的单调性法则：“同增异减”。即内层函数和外层函数的单调性相同（同增或同减）时，为增函数；内层函数和外层函数的单调性相反（一增一减）时，为减函数；

函数的单调性初中几年级学的

奇偶性和单调性高中学的，大学也会学；而有界性是大学里高等数学的内容！理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性。

函数单调性四则运算法

两个函数都是增函数则和为增函数，都是减函数时和为减函数，当函数值都是正数时，增函数乘以增函数是增函数，减函数乘以减函数是减函数，当增函数减去减函数时是增函数，减函数减去增函数是减函数。

怎么求函数的单调性

函数的单调性也可以叫做函数的增减性。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

1、导数法

首先对函数进行求导，令导函数等于零，得X值，判断X与导函数的关系，当导函数大于零时是增函数，小于零是减函数。

2、定义法

设x1，x2是函数f(x)定义域上任意的两个数，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则此函数为增函数；反知，若f(x1)＞f(x2)，则此函数为减函数.

3、性质法

若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：

①f(x)与f(x)＋C（C为常数）具有相同的单调性；

②f(x)与c?f(x)当c＞0具有相同的单调性，当c＜0具有相反的单调性；

③当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数；

④当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；

4、复合函数同增异减法

对于复合函数y＝f[g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，令t＝g(x)，则三个函数y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。