高中函数的概念教案，三角函数和差角公式推导的教案-摇篮网

对称函数知识点

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是

f(x)+f(2a－x)=2b

证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0

定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)

定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，

∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P'（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).

∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，

f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；

又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国高考理)(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=

解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+

∴x=－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选(A)

例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，

f(x)=x，则f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)

2021下半年中学教师资格证考试笔试题有答案吗多少分过

2021年下半年中小学教师资格考试

综合素质试题(中学)

(科目代码:301)

注意事项:

1.考试时间为120分钟,满分为150分

2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效,不予评分

一、单项选择题(本大题共29小题,每小题2分,共58分)

1.李老师带领学生到社区了解当地的风土人情及地域文化,回校后指导学生上网查阅资料，并开发了以本土文化为题材的课程资源，李老师的教育观是（)。

A.教师是课程资源的开发者

B.学生是教育过程的主导

C.教师是学科知识的传授者

D.学生是教育活动的主体

【答案】A

2.下课铃响了，按照教学设计还有一个教学环节没有实施，钱老师就延长了5分钟前，老师的做法（)。

A.恰当,保证了学习的基本容量

B.不恰当，忽视学生的学习风格

C.恰当,遵守了教学的基本规范

D.不恰当，漠视了学生的学习效果

【答案】D

3.授课过程中，李老师始终坐在讲台上操作多媒体，以展示课前准备的精美课件，从教师观的角度看李老师的教学行为，下列判断不正确的是（）

A.忽视了学习习惯的培养

B.忽视了学生的主体性

C.忽视了课堂效果的提升

D.忽视了教师的创造性

【答案】A

4.吴老师将“基于现象和过程”可视化的学习原理与学情相结合，提出利用微型化学实验室在“宏观辨识”与“微观探析”之间搭建桥梁的教学主张，并总结出指导学生展开微型实验设计与实施要注意的事项，从学生观的角度，吴老师的做法体现的是()。

A.丰富课程资源

B.改善师生关系

C.优化教学策略

D.注重学习体验

【答案】D

5.小秦是初中二年级学生，父亲稍不顺心就对他进行打骂，甚至拿烟头烫他，学校了解情况后,可以采取的措施是（)。

A.对小秦的父亲给予警告或处分

B.对小秦的父亲给予训戒或罚款

C.向有关部门提出检举或者控告

D.向有关部门提出申请或者诉讼

【答案】C

6.为满足中小学法治教育工作的需要，某出版社策划出版了一套适合未成年人阅读的法制教育趣味丛书，对于该丛书的出版，国家应当给予()。

A.扶持

B.奖励

C.保障

D.审定

【答案】D

7.12岁的杨盼因交通事故导致右腿残疾，入学时，学校工作人员看他走路一瘸一拐，便对他的父母说学校不接受身体有残疾的学生，你们把他带到特殊学校去吧。该校工作人员的做法()。

A.不正确，能否入学应由校长决定

B.不正确，杨盼有接受教育的能力

C.正确，特殊教育学校条件更加便利

D.正确，学校是开展普通教育的机构

【答案】B

8.张某大学毕业后，作为志愿者到农村地区学校任教两年，随后张某又应聘到一所公立学校,连续工作六年根据《教育法》，张某的工龄应为（）

A.10

B.8

C.7

D.6

【答案】B

9.教师张某因恶意透支信用卡，被人民法院判有期徒刑一年，根据《中华人民共和国教师法》的规定，下列正确的是（）

A.张某永远丧失教师资格

B.学校可以依法撤销张某的教师资格

C.张某两年以后方可重新申请认定教师资格

D.张某必须再次通过教资考试才能获得教师资格

【答案】A

10.李某想举办一所学校以践行自己的教学理念，根据《中华人民共和国教育法》的规定，下列选项中属于举办学校应当具备的基本条件是（)。

A.有稳定的财政投入

B.有固定的办学场所

C.有合格的教师

D.有充足的生源

【答案】C

11.某中学教室的天花板因地震脱落，学生小林被吓得不敢动弹，刘老师见状急忙冲上前去保护小林，自己被砸伤，班上的另两名同学也受轻伤。对于这起事故，下列正确的是()。

A.学校应承担过错赔偿责任

B.学校应对教师给予适当补偿

C.小林的监护人应承担赔偿责任

D.学校主管人员应承担刑事责任

【答案】B

12.22岁李某在家待业,根据我国宪法规定，关于李某的权利义务，下列选项中不正确的是（)。

A.无接受义务教育的权利

B.无需承担纳税义务

C.有依法服兵役的义务

D.有科学研究的自由

【答案】B

13.多年来，谭老师精心记录本校毕业生就业去向和升职情况，每当学校需要，谭老师总能非常方便找到相关学生帮忙,谭老师所犯的错误是（)。

A.权欲型错误

B.物欲型错误

C.名欲型错误

D.情欲型错误

【答案】A

14.上课铃响后，侯老师看到赵亮同学衣衫不整跑进教室，叫住说:“快把衣服穿好，怎么不扣扣子呢?”赵亮刚想反驳，抬头看到侯老师整洁的衣着，便迅速扣好扣子。这体现侯老师的职业修养特点是()。

A.被动性

B.实在性

C.内在性

D.中介性

【答案】B

15.教师节前夕，某班主任老师在班级群组织送礼投票，要求学生集资给老师送礼，否则转班。学校核实后，拟对该教师给予降低岗位等级处分。依据《中小学教师违反职业道德行为处理办法》，下列正确的是().

A.由学校提出建议，上级人事部门决定并备案

B.由学校提出建议，同级人事部门决定并备案

C.由学校提出建议，学校主管部门决定并报同级人事部门备案

D.由学校提出建议，学校主管部门决定并报上级人事部门备案

【答案】C

16.某班主任告知学生，如果迟到，第一节课就不要进校门，以免被值班老师发现，影响年终考核，为了不影响学生学习，事后班主任会找机会给迟到未进教室听课的学生补课，该班主任违背的教育公正原则是（)。

A.保证

B.补偿

C.对等

D.互换

【答案】A

17.细菌是单细胞的微小原核生物，属于微生物的一大类，遍布土壤、空气、水、有机物质中及生物体内和体表,对自然界物质循环和全球生物平衡起着巨大作用,有些细菌能引起人和植物病害,下列不属于由细菌引起的是()。

A.鼠疫

B.麻疹

C.败血症

D.破伤风

【答案】B

18.为防止车速违规，在高速公路上设置了许多测速摄像头。摄像监测车速所利用的是()。

A.电磁效应

B.光电效应

C.康普顿效应

D.多普勒效应

【答案】A

19.严复是近代启蒙思想家、翻译家，他通过译述英国生物学家赫胥黎的《进化》宣传了“物竞天择”的思想,对思想界有很大影响，译作是()。

A.《原富》

B.《天演论》

C.《社会通诠》

D.《群已权界论》

【答案】B

20.“巢居”与“穴居”同为中华先民最早的居住方式，后来巢居逐渐发展，在基址上打木桩，加铺板，再加盖，成为“干栏式建筑”,下面所列“新石器时期”文化遗址中，居室采用干栏式建筑的是()。

A.河姆渡文化遗址

B.仰韶文化遗址

C.大文文化遗址

D.龙山文化遗址

【答案】A

21.世界各地古代文明是世界历史谱系的有机组成部分，尊重和包容不同文明及其发展历史。下列古代文明中，产生的寓言经后人加工结集为《伊索寓言》的是()。

A.古埃及

B.苏美尔

C.古希腊

D.古罗马

【答案】C

22.我国地方戏曲剧种多样，精彩纷呈,《刘巧儿》属于（)。

A.越剧

B.评剧

C.黄梅戏

D.豫剧

【答案】B

23.下列属于傣族服饰的是()。

【答案】C

24.近现代西方美术家因其主张题材风格不同，形成许多美术流派，每一流派都有自己的代表画家，法国莫奈属于()

A.印象派

B.学院派

C.古典主义

D.浪漫主义

【答案】D

25.有一组数据{68,76,89,95,100,103,107,110,112,115,122,125}，中位数是().

A.104

B.105

C.106

D.107

【答案】B

26.

张志刚总成绩的函数是（）

A.SUM

B.RANK

C.COUNT

D.AVERAGE

【答案】A

27.不缩进段落的第一行，而缩进其余的行,可实现的操作是（)。

A.悬挂缩进

B.首行缩进

C.左缩进

D.右缩进

【答案】A

28.“医生—军人”一致的是（)

A.青年—少年

B.中年—老年

C.青年—干部

D.明星—影星

【答案】C

29.

【答案】D

二、材料分析题(本大题共3小题,每小题14分,共42分)

阅读材料,并回答问题

30.材料

童老师和王老师是师徒关系，有一次上课时，王老师发现一个细节:童老师从头到尾都拿着教科书，而且上课过程中还时不时瞄上几眼,经过观察王老师发现师傅瞄的并不是教科书本身的内容,而是她事先就粘贴在书中的小纸片。通常,童老师会在分析这篇课文的单词或句型时看一眼，在讲到有关课文的文化背景时看一眼，又或者是在讲评学生作业时看一眼，这些卡片上都记的啥呢?

课后得到董老师的允许，王老师翻看了师傅所使用的教科书中的小卡片,发现这些纸片主要分为三类:绿色纸片是知识拓展类，黄色纸片是考点讲解类，蓝色纸片是错题分析类。

王老师向董老师请教:“这样的小纸片密密麻麻，会不会不利于教学知识的梳理?董老师回答道:“不会呀，这是在分析学生认知规律和学习特点的基础上想出来的方法。其中知识拓展类纸片可以帮助学生解决知识的连贯性、整体性问题，考点讲解类纸片可以帮助学生解决知识的理解性、应用性问题,错题分析类纸片可以帮助学生解决知识的巩固性、综合性问题。所以，咱们的教学不仅仅要观察可以怎么做，还要去琢磨为什么。”

问题:请结合材料，从教师观的角度评析董老师的教育行为。(14分)

【参考答案】

董老师的教育行为恰当,符合新课程下的教师观的要求。

(1）教师是教育教学的研究者。

(2）在对待与其他教育者的关系上，新课程强调合作。

(3）教师是终身学习的践行者。

(4)教师是教育教学的研究者。

总之，材料中董老师的教学行为是正确的，真正促进了学生的健康成长。

31.材料

2020年1月24日，正值大年三十,准备开车回乡下与父母团聚的王老师接到了居委会的疫情防控电话，二话没说立即报名了社区志愿服务岗位，主动承担防疫值班工作。值班期间王老师耐心细致的做好防疫宣传和小区进出人员的排查，帮助邻居订购生活物品,他还通过电话、微信等方式每天询问、记录、上报班上学生的动向、身体情况，并叮嘱指导他们做好防护。

因为疫情学生不能正常到校上课。初次线上教学的王老师遇到了设备网络教学资源等方面的许多困难，他便就地取材，自制教学用具，布量好一直播间,为了保证教学效果，王老师精心设计和讲解直播课，引导学生互动，他还建立了班级学习群,引导大家讨论，气氛特别活跃,王老师坚持在线批改作业，并关注学生们的心里状况，他调侃自己是“新晋十八线主播”,又学到了许多新技能。

总结会上，王老师说:“我是党员，要起到带头作用，无论什么情况下,都要对学生负责，把初心写在行动上，把使命落在岗位上。”

问题:请结合材料从教师职业道德角度评析王老师的行为。(14分）

【参考答案】

王老师的教学行为是正确的，体现了教师职业道德的相关要求。

(1)为人师表

(2)终身学习

(3)爱岗敬业

(4)教书育人

(5)关爱学生

总之，材料中王老师践行了教师职业道德规范的相关要求,我们应该积极学习。

32.材料

①“礼”,这个笔画简单的字眼,解释起来却有些复杂。

这世上本来没有“礼”，只是因为集体生存、社会发展的需要，才产生了“礼”的仪式，造出了“礼”的汉字。因此,“礼”字也是社会生态的描摹。“礼”字的繁体是“禮”,本字为“豊”，一看便知与祭祀有关。在甲骨文中,“豊”的顶部就像两串美玉，底部就像有支架的建鼓。合起来会意，就是击鼓奏乐，用美玉敬奉祖先和神灵。上升到定义，就是履行敬神祈福的仪式。这托盘状的“豆”，后来也被视作食器或祭器。在人类文明早期，食器和祭器可不是普通物件,而是很重要的符号。食器象征基本的物质寄托,祭器象征诚敬的精神寄托,融汇起来恰巧与“民以食为天”的理念相吻合。

②《礼记》有云:“经礼三百，曲礼三千”,大的礼仪准则有三百,小的礼仪规范有三千，可见礼仪数量之多。于是有人说，怪不得中国人太累，是被“礼”压的。其实，这么多“礼”是根据时间、场合和对象制订的，并不需要时时、处处、人人都去掌握，你只要知道什么场合注意什么问题就可以了。外交上有个术语叫“国际惯例”,社交场合的“礼”也是约定俗成的惯例，大家都按惯例行事，就习以为常了。庄重的场合需要彬彬有礼，宽松的场合可以不拘礼数。

③在今人字典里，“礼”也分虚实两类，虚的如礼节、礼仪、礼貌、礼俗等，实的如礼品、礼金、礼服、礼花等。还包括与“礼”相关的人事和行为，如礼宾、礼遇、礼聘、礼让等。先贤把夫妻同房看作人伦之大常，文称“敦伦”，戏称“周公之礼”。委婉含蓄之至，诙谐幽默之至。由此可见，大到国家和社团，小到街邻和家庭,“礼”无处不在，所以有“礼尚往来”，所以说“来而不往非礼也”。

“礼多人不怪”这句俗语，只能用在中国人身上，若用在外国人特别是西方人身上，他们会感到莫名其妙。满桌子美味佳肴,却说“略备薄遐，不成礼敬”，外国人怎能不奇怪呢?钱穆先生在接见美国学者邓尔麟时曾说:中国文化的特质是“礼”,“西方语言中没有‘礼’的同义词;它是整个中国人世界里一切习俗行为的准则,标志着中国的特殊性”。我们常说,中国是文明礼仪之邦,因为礼仪与文明是相统一的,礼仪是文明的载体，文明是礼仪的内涵,没有了礼仪，文明也就无所依附。总之，现代的“礼”，主要体现在外交与社交领域。

与现代有所不同的是,“礼”在古代还被看作是核心价值观，用来调整社会关系，具有制度属性和法律属性，是社会的典章制度和道德规范，所谓“礼法”。“礼”的本意是“别尊卑，等贵贱”，其本质是对奴隶主中不同等级的人所享有不同礼遇的规定。先秦诸子都强调“礼”的作用在于维持建立在等级制度和亲属关系上的社会差异，这也正是“礼”的本质内涵。

荀子说:“人道莫不有辨,辨莫大于分，分莫大于礼。”每个人都要按照自己的社会地位去选择合乎身份的“礼”，否则就是非“礼”。在《论语》中，颜渊问孔子什么是仁。子曰:“克己复礼为仁。一日克已复礼，天下归仁焉。为仁由己,而由人乎哉?”颜渊曰:“请问其目。”子曰:“非礼勿视，非礼勿听，非礼勿言，非礼勿动。”春秋时，鲁季氏以卿的身份行天子之礼，孔子愤慨地说:“是可忍也，孰不可忍也?”

④鲁迅有个著名的立论叫“礼教吃人”。他所抨击的“礼教”,兴起于封建社会，其实质是封建礼法。有人把“礼教吃人”与孔子联系起来，那是记错了账。孔子曰:“敦礼教，远罪疾，则民寿矣。”孔子倡导的礼教与封建礼法有着本质的区别。封建卫道士从孔子那里取火,不是去爱人而是害人,这关孔子什么事?

⑤“礼”经夏、殷、周三代沿革，到周公的时代已经比较完善。因此孔子说，“郁郁乎文哉，吾从周”。孔子遵从的就是周朝的典章礼制，这是他的政治理想。从某种意义上说，孔子是为“礼”而生并为“礼”奋斗了一生。孔子为何给儿子取名孔鲤,“鲤”者，礼也。他让儿子自小就要学诗、学礼，并说，“不学诗，无以言”“不学礼，无以立”。“诗”和“礼”是古人教育后代最基本的功课，所以有“诗礼传家”之说，这是中国独有的历史文化传统。有的学者把文化分成观念形态、制度形态和物质形态，而在中国传统文化中，礼是把价值观念、制度设计、物质载体统合在一起，并且包含了风俗习惯的文化形态。邹昌林先生认为,文明产生在国家之前，礼仪产生在文字之前，文化的传承不仅依靠语言、文字,还依靠礼仪。中国文化作为唯一没有间断的原生文化，是以礼为标志和根源的。

问题:(1)文章为什么说在我国“礼仪是文明的载体”?请简要概括。(4分)

(2)请根据文章简要分析,“礼”的发展进程及其存在的意义。(10分)

三、写作题（本大题1小题，50分）

33.汉朝董遇有“三余”说:“冬者岁之余，夜者日之余，阴雨者时之余也”大意是，冬天是一年中的余暇,夜晚是一天的余暇,阴雨天是平时的余暇,这些时间正好可以用来读书。

画家齐白石曾以“余”“鱼”同音，作《三余图》，并题识:三余者，昔人故事，余字不能画，借鱼之形，取其音，白石有三余日:画者，工之余;诗者，睡之余;寿者，劫之余。

综合上述材料所引发的思考和感悟，写一篇论说文。(用国家通用语言文字写作，角度自选,立意自定，标题自拟，不少于1000字)

三角函数和差角公式推导的教案

三角函数和差公式是几个角的和(差)的三角函数通过其中各个角的三角函数来表示的关系。接下来分享三角函数和差公式及推导过程。

三角函数和差公式及推导过程

三角函数的和差公式

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-cossinb

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)

tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb)

三角函数的和差公式推导过程

sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

两式相加得：sinacosb=1/2[sin(a+b)+sin(a-b)]...(1)

两式相减得：cosasinb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]...(2)

cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

两式相加得：cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]...(3)

两式相减得：sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]...(4)

用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b就可得到和差化积的四个式子。如：(1)式可变为：

sina+sinb=2sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]其它依次类推即可。

非师范想考教师证，高中数学学科知识与能力要怎么学

1.教师资格考试《高中数学学科知识与教学能力》考试范围一般是按照考试大纲来进行考试的，在备考过程中，建议多做真题，熟悉考试情况。

2.高中数学内容重点是集合、函数、导数、数列、概率与统计等内容。同时对高中教材中的定理、公式的推导也要掌握，考试中很有可能在案例分析题或教学设计题中进行考查。

初中数学教师资格证科目三内容

答:初中数学教师资格证科目三内容包括数学教育相关知识和教学技能两个方面。1.:初中数学教师资格证科目三内容是包括数学教育相关知识和教学技能两个方面的。2.:首先，数学教育相关知识是科目三考试的重点，主要包括教学思想、数学教育的基本理论、新课程标准、教学设计与评价等；其次，教学技能是教师必备的能力，科目三考试也会对其进行考查，包括课堂教学能力、教学设计能力等。3.:除了理论知识和教学技能的考查，科目三考试还会涉及到一些实际问题，例如课外阅读、数学竞赛、数学教育研究等，考生需要具备广泛的视野和实事求是的态度，才能在科目三考试中取得好的成绩。