函数的极值与导数教案 导数求极值和最值方法

已知函数极值点，求极值时，是把极值点代入原函数还是代入该函数的导函数中

当然是"把极值点代入原函数"，不过你你要弄明白=，这个极值点是极大值点还是极小值点，是指点还是最值点？尤其是如果是最值点那就当别论，

如何求函数的极值

导函数极值存在的条件

①函数在处可导，是在处取得极值的必要不充分条件，而不是充要条件。即可导函数的极值点一定满足，但当时，不一定是极值点。求如的极值点，由得个解，但只有是极值点。一般地，可导函数在两侧的符号相反，则存在极值；如果在两侧的符号相同，则在处无极值。

②可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左右两侧的符号不同。求函数极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数；

③求方程的解；

④检查方程的解的左右两侧导数的符号，确定极值点(最好利用列表法)。如果的符号从的左侧到右侧由正变负，那么为函数的极大值；如果的符号从的左侧到右侧由负变正，那么为函数的极小值；如果在的左右两侧符号相同，那么不是函数的极值。

求函数f(x,y)=e^2x(x+y^2+2y)的极值，请问谁会

答案

f对x的偏导数为fx=[2(x+y^2+2y)+1]e^2xf对y的偏导数为fy=2(y+1)e^2x另两个偏导数均为0得到y=-1x=1/2所以f在（1/2,-1）上取极值代入得到-e/2

极值

函数在其整个定义域内可能有许多极大值或极小值，而且某个极大值不一定大于某个极小值。函数的极值通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f(x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

1）若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；

2）若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值

导数为什么可以求极值

连续函数上某点的导数就是过该点该函数切线的斜率。当导数为零时，切线就是一条水平线。这条切线在切点附近的邻域内，会将邻域内除切点外函数上的点分为上下两部分，有三种情况：

*这些点都在水平切线上，这时切点就是极小点；

*这些点都在水平切线下，这时切点就是极大点；

*这些点在水平切线上下都有，则切点不是极值点；

举例说明：

上图中，绿色曲线为y=x2+1，它的导数曲线（红色）为y'=2x。在(0,1)点绿色曲线的导数为零，于是过该切线i是一条水平线。(0,1)点附近除了(0,1)点外，绿色曲线上的点都在i之上，于是(0,1)就是极小值。这就是第一种情况。

上图中，绿色曲线为y=-x2+1，它的导数曲线（红色）为y'=-2x，在(0,1)点绿色曲线的导数为零，于是过该点的切线i是一条水平线。(0,1)点附近除了(0,1)点外，绿色曲线上的点都在i之下，于是(0,1)就是极大值。这就是第二种情况。

上图中，蓝色曲线为y=x3+1，它的导数曲线（橙色）为y'=3x2，在(0,1)点蓝色曲线的导数为零，于是过该点的切线i是一条水平线。(0,1)点附近除了(0,1)点外，蓝色曲线上的点分置于i之上下，可见(0,1)不是极值点。这就是第三种情况。

上图中，蓝色曲线为y=-x3+1，它的导数曲线（橙色）为y'=-3x2，在(0,1)点蓝色曲线的导数为零，于是过该点的切线i是一条水平线。(0,1)点附近除了(0,1)点外，蓝色曲线上的点分置于i之上下，可见(0,1)不是极值点。这也是第三种情况。

接下来就是如何判断三种情况的那种。观察上面四幅图，可以发现：

第一种情况，函数的导数曲线在切点的附近邻域内单调递增，如y=2x；

第二种情况，函数的导数曲线在切点的附近邻域内单调递减，如y=-2x;

第三种情况，函数的导数曲线在切点的附近邻域内不单调。

于是我们可以根据导函数的在切点附近的单调性来判断导数为零的切点是否是极值点，是什么极值点。

而我们知道：

单调递增函数的导数值恒大等于于零；

单调递减函数的导数值恒小于等于零；

于是我们只要对曲线的导函数再次求导（即，求二阶导数），看二阶导数在导数为零的切点附近的值是否均大于等于或小于等于零，就可以判断的导函数的单调性，从而判断切点的极值性。例如：

图1中，导函数是y'=2x，再求导y''=2>0,于是y'=2x单调递增，进而(0,1)点是极小值；

图2中，导函数是y'=-2x，再求导y''=-2<0,于是y'=-2x单调递减，进而(0,1)点是极大值；

图3中，导函数是y'=3x2，再求导y''=6x>=<0，于是y'=3x2不单调，进而(0,1)点不是极值点；图4和图3类似。

导数的单调性和极值怎么求

要求导数的单调性和极值，您可以按照以下步骤进行操作：

1.首先，求出函数的导数。导数表示函数在给定点的斜率或变化率。使用微积分的规则来计算函数的导数。

2.确定导数为零的点。在导数为零的点处，函数可能存在极值点（最大值或最小值）或拐点。通过将导数等于零的方程解出，找到这些点。

3.判断导数的正负性。在导数为零的点附近，观察导数的符号可以帮助确定函数的单调性。在导数为零点的左侧，如果导数为正，则函数是递增的；如果导数为负，则函数是递减的。

4.判断导数的变号区间。通过观察导数的正负性变化，可以找到函数的极值点。当导数从正数变为负数时，函数可能存在局部最大值；当导数从负数变为正数时，函数可能存在局部最小值。

需要注意的是，这些步骤提供了一种方法来估计函数的单调性和极值，但并不保证所有情况下都能找到准确的结果。对于更复杂的函数和问题，可能需要进一步的数学分析和技巧。同时，图形化地表示函数的图像也可以帮助更直观地理解函数的单调性和极值。

求导数极值和最值的步骤

1、求极大极小值步骤：

求导数f'(x)；

求方程f'(x)=0的根；

检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：

求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；

用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。

导数求极值和最值方法

求导数在函数的导数存在的点处，使导数等于0，即可得到函数的极值点。而对于最大值和最小值，需要在求得导数为0的点中找到函数值最大和最小的点。同时，在边界处也需要进行判断。如果函数的定义域为有限区间，则需要比较区间两端点以及导数为0的点的函数值来确定最大值和最小值。较为简单的情况可以使用一些绘图和函数变化的技巧来定位。要注意的是，函数可能存在多个极值点和最值点。