函数的应用教案(组编数学卷的软件)

对称函数知识点

一、函数自身的对称性探究

定理1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是

f(x)+f(2a－x)=2b

证明：（必要性）设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点，∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y=f(x)图像上，∴2b－y=f(2a－x)

即y+f(2a－x)=2b故f(x)+f(2a－x)=2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)

∵f(x)+f(2a－x)=2b∴f(x0)+f(2a－x0)=2b，即2b－y0=f(2a－x0)。

故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y=f(x)图像上，而点P与点P'关于点A(a,b)对称，充分性得征。

推论：函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(－x)=0

定理2.函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是

f(a+x)=f(a－x)即f(x)=f(2a－x)（证明留给读者）

推论：函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(－x)

定理3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称，

∴f(x)+f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+f[2a－(2b－x)]=2c………………（*）

又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称，

∴f(2b－x)=f(x)代入（*）得：

f(x)=2c－f[2(a－b)+x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f[2(a－b)+x]=2c－f[4(a－b)+x]代入（**）得：

f(x)=f[4(a－b)+x],故y=f(x)是周期函数，且4|a－b|是其一个周期。

二、不同函数对称性的探究

定理4.函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

定理5.①函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图像关于直线x=a成轴对称。

②函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

③函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③

设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点，则y0=f(x0)。记点P(x,y)关于直线x－y=a的轴对称点为P'（x1，y1），则x1=a+y0,y1=x0－a，∴x0=a+y1,y0=x1－a代入y0=f(x0)之中得x1－a=f(a+y1)∴点P'（x1，y1）在函数x－a=f(y+a)的图像上。

同理可证：函数x－a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x－y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。故定理5中的③成立。

推论：函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。

三、三角函数图像的对称性列表

函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx(kπ,0)x=kπ+π/2y=cosx(kπ+π/2,0)x=kπy=tanx(kπ/2,0)无

注：①上表中k∈Z

②y=tanx的所有对称中心坐标应该是(kπ/2,0)，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册（下）及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案（修订版）中都认为y=tanx的所有对称中心坐标是(kπ,0)，这明显是错的。

四、函数对称性应用举例

例1：定义在R上的非常数函数满足：f(10+x)为偶函数，且f(5－x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f(10+x)为偶函数，∴f(10+x)=f(10－x).

∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。

故选(A)

例2：设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f(x－1)和y=g-1(x－2)函数的图像关于直线y=x对称，

∴y=g-1(x－2)反函数是y=f(x－1)，而y=g-1(x－2)的反函数是:y=2+g(x),∴f(x－1)=2+g(x),∴有f(5－1)=2+g(5)=2001

故f(4)=2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1－x),当－1≤x≤0时，

f(x)=－x，则f(8.6)=_________（第八届希望杯高二第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴；

又∵f(1+x)=f(1－x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。故y=f(x)是以2为周期的周期函数，∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(－0.6)=0.3

例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是（）(92全国高考理)(A)x=－(B)x=－(C)x=(D)x=

解：函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+

∴x=－,显然取k=1时的对称轴方程是x=－故选(A)

例5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=－f(x),当0≤x≤1时，

f(x)=x，则f(7.5)=（）

(A)0.5(B)－0.5(C)1.5(D)－1.5

解：∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

又∵f(x+2)=－f(x)=f(－x)，即f(1+x)=f(1－x)，∴直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。

∴f(7.5)=f(8－0.5)=f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5故选(B)

函数的使用方法

正确使用函数方法

1.

输入函数首先用等号开始;

2.

编辑函数方法1:首先单击需要编辑在位置,然后在此编辑内进行编辑;编辑函数方法2:双击需要编辑的位置,直接编辑公式;...

3.

首先单击已经编辑好的位置,移动鼠标到右下角直到鼠标由大十字变为小十字;...

4.

复制和填充函数方法3:单击已经编辑好函数下面第一个空格单元格,使用Ctrl+D,...

小学数学重要吗

我是培训老师，教过小学到高中的所有年级的数学，接触过数千学生，可以说，小学的数学学习的能力，决定了以后的数学学习。

一般的，一个学生来找我，5分钟之内，大致就可以判断这个孩子到底数学牛不牛。

那是一种灵气，从眼神和气质上大致可以判断出，这个学生有没有灵气。

这种灵气不是分数能反映出来的，是一种学习的状态和悟性。

那么，我们究竟应该如何去帮助孩子学好小学数学？

1.让孩子理解的基础上熟练！

2.让孩子自信，记得越小的孩子越需要夸！

3.让孩子多自己先试试，别急着告诉孩子答案！

4.告诉孩子他能行！

幂函数能解决哪些问题

正如网上某位大神所说，幂函数可以解决很多实际问题，银行利率，地震强度等等。

如题所示：

幂函数：银行存款计复利

例1：按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数。如果存入本金1000元，每期利率为2.25％，试计算5期后的本利和是多少？（精确到0.01元）

解析：复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。已知本金是a元，一期后的本利和为；二期后的本利和为；三期后的本利和为；……

x期后的本利和为。

将a＝1000元，r＝2.25％，x＝5代入上式得：

（计算器算出）

答：复利函数式为，5期后得本利和为1117.68元。

点评：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原产值为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值或总产量y，就可以用公式表示，解决平均增长率问题，就需要用这个函数式。

例2：设在海拔xm处的大气压强是yPa，y与x之间的函数关系是，其中c,k是常数，测得某地某天海平面的大气压强为1.01×105Pa，1000m高空的大气压强为0.90×105Pa，求600m高空的大气压强？（保留3个有效数字）解析：由题意，得：，由①得：c＝1.01

×105，代入②，得：

，利用计算器得；1000k＝－

0.115，所以k＝－1.15×10－

4，从而函数关系是。再将x＝600代入上述函数式得，利用计算器得：y≈9.42×104答：在600m高空得大气压强约为9.42×104Pa。

例3：20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）。

（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）

（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）？解析：（1）

因此，这是一次约为里氏4.3级的地震。

（2）由可得

当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107。

6；当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105。

所以，两次地震的最大振幅之比是

故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍

数学教师该如何有效地开展课前小测

您好！我形和我数来回答您的问题。首先要给题主一个赞！??

您能提出这样的问题，说明您关心教育热心教学。我从以下角度回答您的问题。

1.如何理解课前？

课前时间有两种，一种是数学课上课之前，即预备铃与正式铃之间。教师主理的正课四十分之外。

一种是正式铃响之后，教师讲新课之前，属于正课四十分钟之内。

2.数学课一定要做课前小测吗？

我的答复是不必须也不必需！视情形而定。

教师走进教室，利用课间这段时间做个课前小测。这样做，优点是，不耽误本节教学内容，主题突出，比如原定本节讲授双曲线，本节设计了要完成的目标①双曲线的定义及对定义的理解②掌握双曲线的几何性质③了解等轴双曲线及共轭双曲线。④掌握典型题型的解题技巧，如求标准方程，求e，求渐近线，解焦点三角形，解与椭圆向量三角函数的综合题。本节学习内容多，时间紧，一节小课四十分钟，可全部用于新课内容，导言，推导，结论，理解，应用，易错点设置。而把小测放到打铃前，不冲击本节教学。缺点是，挤占了孩子们的休息时间。课间十分钟，高年级班级位置也高，假定在六楼，孩子们不能在楼道跑，走下六层楼，去室外厕所方便一下，蹲位不一定够，排一下队，急忙回来，已经打正式铃了。在时间上太赶。另外孩子脑袋得不到休息，各科都这样做，孩子们课间连续坐，从早七点坐到晚上九点十点，一直坐，对身体实在没什么好处。精神上乏累，头脑昏沉，于下节学习也不是什么好事。给孩子们一个上厕所或透口新鲜空气的时间于学习更好，所以我不主张上课前利用课间小测。

第二种课前，为正式铃之后教师讲新课之前，教师把自己主理的四十钟分为两部分，一部分用于小测验，从发卷到收卷，好答的，怎么也得十分钟，如果，正课内容宽松，可以做。

3.课前小测的内容

①教师提早备出小测内容，制版，打印，于正课前快发快收，抓紧时间。

②小测内容最好与本节相关联、最近短周期所学内容。

③小测卷的批阅与讲评要安排时间。

④课前小测面向全体还是部分个体要确定，有针对性。前者可发现共性问题，后者可清晰了解指定学生的薄弱环节，抓差补漏。

前事不忘，后事之师。

复习与小测是教学中的重要一环。时间可灵活掌握。不必一定课前，也可以放在课后，如自修课时间，考十分钟。

小测不一定答卷，课前提问也是小测的一种。

一些老教师预先在教案上设计好提什么问题，对应回答的学生名先定好，尽量扩大学生提问面，具体学生具体问题，比如小明马虎，遇到易错题，让小明回答。

有灵活度，有针对性。比较好！

组编数学卷的软件

101教育PPT，有一些实用的数学转盘、计算器、函数曲线……学科工具，辅助老师突破教学重难点，有利于学生理解GeoGebra，可以制作出让学生与老师「互动」的在线数学教案MathType，中小学老师可以用它来编辑数学试卷、书籍、报刊、论文、幻灯演示等方面……

数学与应用数学专业代码是多少

专业代码：070101

专业介绍：

本专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。